In deze blog ga ik ervan uit dat je weet wat complexe getallen zijn, en dat je ook de begrippen convergentie en divergentie snapt.
Fractals zijn onlosmakelijk verbonden met complexe getallen! Bijzonder is de zogenaamde mandelbrot set. Deze wordt verkregen door een recursieve vergelijking
te beschouwen. Hierin is z_n een complex getal, dat steeds per stap veranderd. C is een ander complex getal. Wat je nu kunt doen is kijken voor welke waarden van C, z_n divergeert. Concreet betekent dit dat oneindig groot wordt. Aan de andere kant zullen er ook waarden van C zijn waarvoor convergentie optreedt, dus naar een vaste waarde “kruipt”.
Wat je nu kunt doen is dat je voor alle getallen waarvoor convergentie optreedt, je een zwarte kleur geeft, en waarden voor C waarvoor geen convergentie optreedt, een andere kleur toekent.
Je kunt zelf een mandelbrotset redelijk eenvoudig programmeren. Wat je kunt doen is in het complexe vlak een groot aantal punten uitzetten, en vervolgens voor elk punt de recusievergelijking toepassen zoals eerder aangegeven. Vervolgens bepaal je na een groot aantal iteraties of de bijbehorende reeks convergeert of divergeert. Als hij convergeert, maak je het punt zwart, en als hij divergeert, ken je hier een bepaalde kleur aan toe. Hoe meer iteraties nodig zijn, hoe donkerder de kleur die je er aan toekent.
Het resultaat is echt prachtig, kijk maar eens naar de volgende figuren (bron: wikipedia.nl).
Als je heel goed kijkt, zie je dat bepaalde punten repeterend zijn. Laten we eens inzoomen op een punt net aan de rand van de mandelbrot set (in zwart):
Op elk van die puntjes kun je ook weer inzoomen. Dit gaat oneindig ver door!
Wil je meer leren over complexe getallen? Schrijf je dan nu in voor een geheel vrijblijvende les wiskunde op www.lesbijdavinci.nl
Comments