Onlangs heb je nog in deze blog kunnen lezen dat Les bij DaVinci ook bijlessen aanbiedt voor constructiemechanica. Als vervolg op de blog: dynamica, beschrijf ik in deze blog hoe je hier aan kunt rekenen. In deze blog beginnen we erg eenvoudig: de beweging van het gedempt massa-veersysteem met 1 vrijheidsgraad. Wat is dit eigenlijk?
Bron: wikibooks.org
Het gedempt-massa-veersysteem is een zeer eenvoudige schematisatie van een (onderdeel) van een constructie die kan bewegen, zie de bovenstaande figuur. Het is opgebouwd uit een massa m, een veer met stijfheid k en een demper, met een dempingsconstante c. Deze 3 onderdelen beschrijven allemaal iets van de eigenschappen van de constructie. De massa representeert (o.a.) de traagheid tegen verandering van de beweging, de veerstijfheid: hoeveel kracht nodig is om iets te bewegen en tenslotte de demping, de bepaalt hoe snel de beweging al dan niet afneemt. De beweging van een gedempt massa-veersysteem wordt beschreven door een zogenaamde differentiaalvergelijking. Dit is een vergelijking waarin naast een variabele, ook 1 of meerdere afgeleiden van de variabelen in voorkomen. En dat is precies wat we nodig hebben!
Want weet je nog van vorige blogs; de 2e wet van newton zegt iets over de massa maal de versnelling. En de versnelling is de 2e afgeleide van de verplaatsing. En de kracht in een veer, Fveer, is de uittrekking van de veer maal de stijfheid k van de veer tegen een bepaalde verlenging u. Tenslotte de demping. Dit is het moeilijkste om te begrijpen. Dit is een weerstand tegen bewegen, en wordt bepaald door de dempingsconstante c. De dempingsconstante vermenigvuldigd met een snelheid v levert een bepaalde kracht in de demper Fdemper. Dus, gebaseerd op de 2e wet van Newton, kunnen we de volgende vergelijking maken:
Dus, de som van alle krachten is gelijk aan de massa vermenigvuldigd met de versnelling. De versnelling is gelijk aan de 2e afgeleide van de verplaatsing: als je de verplaatsing u eenmaal differentieert naar de tijd, krijg je een snelheid v, ook wel genoteerd als u̇ (het puntje boven de laat zien dat de verplaatsing eenmaal is gedifferentieerd naar de tijd). Als je vervolgens de snelheid differentieert, krijg je ü, oftewel de versnelling. Op het systeem kunnen we een uitwendige kracht uitoefenen. Dus: als we bovenstaande vergelijking gaan invullen, krijgen we:
Het minteken in bovenstaande vergelijking komt omdat de reactiekracht in de veer en de demper juist tegenovergesteld is t.o.v. de externe kracht. De vergelijking verder invullen geeft de volgende differentiaalvergelijking:
En deze vergelijking kunnen we oplossen voor de verplaatsing u! En als we u weten, kunnen we eenvoudig de resterende krachten berekenen. Hoe je dit doet, laat ik zien in een volgende blog.
Wil je meer weten over het oplossen van differentiaalvergelijkingen? Volg dan deze blogs via Facebook en LinkedIn! Of neem HIER een kijkje om een geheel vrijblijvende proefles wiskunde of constructiemechanica te boeken! Tot snel in Gorinchem!
留言