Deze blog gaan we een keertje wat wiskunde toepassen en kijken hoe we daarmee een interessant probleem op kunnen lossen!
Stel je voor: je wilt een glijbaan ontwerpen en weten hoe je het snelste naar beneden glijdt. Hoe doe je dat? In deze blog zullen we kort bekijken wat de meest optimale vorm van deze glijbaan is. Ik heb daarbij handig gebruik gemaakt van (waarvoor dank!):
Ook voor de gebruikte wiskunde verwijs ik naar de twee links erboven. De uitleg is excellent en zou ik zelf niet kunnen verbeteren!
Het woord Brachistochrone staat voor “het probleem van de kortste tijd”. Dus laten we maar weer eens kijken naar ons voorbeeld van de glijbaan. Hoe kan ik deze ontwerpen zodanig dat je zo snel mogelijk beneden komt? Voor nu verwaarlozen we de wrijvingscomponent. Dit is niet erg realistisch, maar het maakt het nu wat gemakkelijker.
Het Brachistochrone probleem is opgesteld door Johann Bernoulli (1667-1748), een zeer groot Zwitsers wiskundige. Hij was van 1699-1700 zelfs nog een jaar Rector Magnificus van de Rijksuniversiteit Groningen. Hij heeft het probleem zelf opgelost, maar heeft ook gevraagd naar oplossingen van andere wiskundigen.
Als start van de oplossing realiseerde hij zich op het principe van het reizen van lichtstralen door een medium, bijvoorbeeld water of lucht. Het principe was al bedacht door de wiskundige Fermat: die had al uitgevogeld hoe lichtstralen door diverse lagen in een bepaald medium reizen: ze reizen altijd met de kortst mogelijke tijd. Johann heeft die theorie toegepast op de “glijbaan” (geen idee of ze die in die tijd al hadden).
Een ander belangrijk gedeelte van de oplossingsrichting maakte hij gebruik van het principe dat de totale energie in een systeem in principe constant blijft zolang wrijvingseffecten worden verwaarloosd. Bij natuurkunde heb je waarschijnlijk al geleerd dat de energie van een bewegend object gelijk is aan de kinetische energie (afkomstig van de snelheid) + potentiële energie (afkomstig van de locatie).
Als je die vergelijkingen afkomstig van het principe van Fermat en de constante totale energie verder uitwerkt, krijg je uiteindelijk een differentiaalvergelijking die je kunt oplossen. De oplossing wordt uiteindelijk gegeven door een stelsel van 2 vergelijkingen die de Brachistochrone kromme beschrijven; oftewel de meest optimale baan van een glijbaan. De eerste vergelijking binnen dit stelsel geeft de x-coordinaat en de tweede de y-coordinaat van de persoon die van de glijbaan glijdt.
Wacht even! Dit is lastig, en heb je waarschijnlijk nog niet eerder gezien. Deze vergelijking is niet een functie waarbij y wordt uitgedrukt in x. Nee, dit noemen we een parametervoorstelling. Oftewel, zowel de x- en y-coördinaat is afhankelijk van een parameter, die hebben we nu in de vergelijking de Griekse letter θ genoemd. En hij is ook afhankelijk van de straal r.
En hoe ziet zo’n kromme er nu uit? Kijk maar eens in onderstaande figuur, waar je de kromme ziet waarbij loopt tussen en . Bij is namelijk een volledig “rondje” doorlopen. Voor de straal is een waarde van 1 gekozen.
Deze kromme noemen we een cycloïde. Maar hoe moet je dit nu interpreteren? Stel je voor: je zet een streepje op een regenton. Vervolgens ga je die ton over de grond rollen. De Brachistochrone kromme in bovenstaande figuur is dan de kromme die het streepje aflegt, precies als je de ton 1 rondje hebt rondgedraaid. Dit ziet er dan zo uit (bron: WisFaq!):
Wil jij meer leren over cycloïden? Wacht niet en meldt je snel aan voor een geheel vrijblijvende proefles bij Les bij DaVinci.
Commenti